Можно рассмотреть группу преобразований над доской.
В ней всего 12 элементов.
Сделаем все преобразования в этой группе.
А потом один раз применим элемент группы к исходной доске.

Можно делать преобразования над маленькой доской.
А потом по её положению восстановить большую.

Удобно работать с гексовым полем в однородных координатах ($x + y + z = 0$).