Рассмотрим одного произвольного игрока. На случайном тесте этот игрок угадает свою карточку с вероятностью ровно $$$1 / n$$$, где $$$n$$$ — количество игроков за столом. Нам нужно, чтобы хотя бы один из игроков угадывал ответ с вероятностью $$$1$$$, следовательно, в правильной стратегии ответ будет угадан ровно одним игроком. Таким образом, стратегии игроков должны иметь некий параметр, различный для всех игроков и принимающий ровно $$$n$$$ возможных значений, из правильного значения которого игрок сможет восстановить свою карточку. В качестве такого параметра нам подойдет сумма чисел на всех карточках по модулю $$$n$$$.

Таким образом, на первом запуске мы выберем игрока, номер которого совпадает с суммой чисел на всех карточках, а на втором запуске, имея это число в качестве номера игрока, мы восстановим ответ.